C言語 行列の完全ガイド｜基本操作から応用プログラムまで徹底解説

1. C言語で行列を学ぶ理由

C言語で行列を学ぶ意義

C言語を用いて行列を操作する方法を学ぶことは、プログラミングスキルを向上させるだけでなく、応用範囲を広げる重要なステップです。

行列とは

行列は、数字を格子状に並べた数学的な構造で、行と列から成り立ちます。例えば、以下のような形です。

| 1  2  3 |
| 4  5  6 |
| 7  8  9 |

この例では、3行3列の行列です。行列は以下の分野で広く使われます：

• グラフィックス：3Dオブジェクトの回転や拡大縮小。
• 機械学習：データのベクトル計算や行列演算。
• 物理シミュレーション：システム状態のモデル化。

C言語で扱う意義

C言語は、パフォーマンスと柔軟性に優れており、大規模データや低レベル計算に適しています。行列演算をC言語で学ぶことで以下のスキルが得られます：

1. メモリ操作の理解：動的メモリ割り当てを使った柔軟なデータ管理。
2. 効率的なアルゴリズムの構築：3重ループや配列を使った計算手法。
3. 応用的なプロジェクト：科学計算や画像処理、機械学習。

本記事では、基礎から応用まで体系的に学べる内容を提供します。

2. 行列の基礎とC言語での表現

行列の基本的な概念

行列操作の基礎として、まず行列の構造と基本的な操作を理解することが重要です。行列は次のような操作をサポートします：

• スカラー倍：行列の全ての要素に一定の値を掛ける操作。
• 加算・減算：対応する要素同士を加算・減算する操作。
• 乗算：行列積を計算する（計算のルールが少し異なる）。
• 転置：行と列を入れ替える操作。

C言語での行列の表現方法

C言語では、行列を主に「2次元配列」で表現します。

静的な行列の宣言

行列のサイズが事前に決まっている場合は、以下のように2次元配列を使って表現します。

#include <stdio.h>

int main() {
    int matrix[3][3] = {
        {1, 2, 3},
        {4, 5, 6},
        {7, 8, 9}
    };

    printf("matrix[1][1] = %d
", matrix[1][1]);  // 結果: 5
    return 0;
}

この例では、3×3の行列を宣言し、要素を初期化しています。

動的メモリ割り当てを使った行列

動的にサイズが決まる行列が必要な場合は、mallocを使ってメモリを割り当てます。以下にその方法を示します。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main() {
    int rows = 3, cols = 3;
    int **matrix = (int **)malloc(rows * sizeof(int *));
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        matrix[i] = (int *)malloc(cols * sizeof(int));
    }

    // 行列に値を代入
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            matrix[i][j] = i * cols + j + 1; // 1から9までの値を代入
        }
    }

    // 行列を出力
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            printf("%d ", matrix[i][j]);
        }
        printf("
");
    }

    // メモリを解放
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        free(matrix[i]);
    }
    free(matrix);

    return 0;
}

この方法では行列のサイズを動的に決定できます。動的メモリ割り当てにより、より柔軟な行列操作が可能になります。

3. C言語で行列を操作する方法

行列の加算と減算

行列の加算と減算は、対応する要素を加算または減算するシンプルな操作です。

実装例：行列の加算

以下は、同じサイズの2つの行列を加算するプログラムです。

#include <stdio.h>

#define ROWS 2
#define COLS 3

void addMatrices(int matrix1[ROWS][COLS], int matrix2[ROWS][COLS], int result[ROWS][COLS]) {
    for (int i = 0; i < ROWS; i++) {
        for (int j = 0; j < COLS; j++) {
            result[i][j] = matrix1[i][j] + matrix2[i][j];
        }
    }
}

int main() {
    int matrix1[ROWS][COLS] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}};
    int matrix2[ROWS][COLS] = {{6, 5, 4}, {3, 2, 1}};
    int result[ROWS][COLS];

    addMatrices(matrix1, matrix2, result);

    printf("加算結果:
");
    for (int i = 0; i < ROWS; i++) {
        for (int j = 0; j < COLS; j++) {
            printf("%d ", result[i][j]);
        }
        printf("
");
    }

    return 0;
}

実装例：行列の減算

加算とほぼ同じ手順で、+を-に変えるだけで減算ができます。

行列の乗算

行列の乗算は計算が少し複雑で、1つ目の行列の行と2つ目の行列の列を掛け合わせて計算します。

実装例：行列の乗算

以下は、2×3の行列と3×2の行列を掛け合わせて、2×2の行列を得るプログラムの例です。

#include <stdio.h>

#define ROWS1 2
#define COLS1 3
#define ROWS2 3
#define COLS2 2

void multiplyMatrices(int matrix1[ROWS1][COLS1], int matrix2[ROWS2][COLS2], int result[ROWS1][COLS2]) {
    for (int i = 0; i < ROWS1; i++) {
        for (int j = 0; j < COLS2; j++) {
            result[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k < COLS1; k++) {
                result[i][j] += matrix1[i][k] * matrix2[k][j];
            }
        }
    }
}

int main() {
    int matrix1[ROWS1][COLS1] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}};
    int matrix2[ROWS2][COLS2] = {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}};
    int result[ROWS1][COLS2];

    multiplyMatrices(matrix1, matrix2, result);

    printf("乗算結果:
");
    for (int i = 0; i < ROWS1; i++) {
        for (int j = 0; j < COLS2; j++) {
            printf("%d ", result[i][j]);
        }
        printf("
");
    }

    return 0;
}

行列の転置

行列の転置とは、行と列を入れ替える操作です。

実装例：行列の転置

#include <stdio.h>

#define ROWS 2
#define COLS 3

void transposeMatrix(int matrix[ROWS][COLS], int transposed[COLS][ROWS]) {
    for (int i = 0; i < ROWS; i++) {
        for (int j = 0; j < COLS; j++) {
            transposed[j][i] = matrix[i][j];
        }
    }
}

int main() {
    int matrix[ROWS][COLS] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}};
    int transposed[COLS][ROWS];

    transposeMatrix(matrix, transposed);

    printf("転置行列:
");
    for (int i = 0; i < COLS; i++) {
        for (int j = 0; j < ROWS; j++) {
            printf("%d ", transposed[i][j]);
        }
        printf("
");
    }

    return 0;
}

転置行列の計算は、行列の行と列を入れ替えることで得られる、新しい行列を求める操作です。

4. 応用的な行列操作と実践例

逆行列の計算

逆行列は、行列の積が単位行列となる行列のことです。ただし、逆行列はすべての行列に存在するわけではなく、行列が「正則」である場合（行列式が0でない場合）に限られます。

実装例：2×2行列の逆行列

以下は、2×2行列の逆行列を計算するプログラムの例です。

#include <stdio.h>

void calculateInverse(int matrix[2][2], float inverse[2][2]) {
    int determinant = matrix[0][0] * matrix[1][1] - matrix[0][1] * matrix[1][0];
    if (determinant == 0) {
        printf("逆行列は存在しません。
");
        return;
    }

    inverse[0][0] = (float)matrix[1][1] / determinant;
    inverse[0][1] = (float)-matrix[0][1] / determinant;
    inverse[1][0] = (float)-matrix[1][0] / determinant;
    inverse[1][1] = (float)matrix[0][0] / determinant;
}

int main() {
    int matrix[2][2] = {{4, 7}, {2, 6}};
    float inverse[2][2];

    calculateInverse(matrix, inverse);

    printf("逆行列:
");
    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        for (int j = 0; j < 2; j++) {
            printf("%.2f ", inverse[i][j]);
        }
        printf("
");
    }

    return 0;
}

このプログラムでは、行列式を計算し、逆行列を導出しています。2×2行列を扱う場合はこの方法が有効です。

スカラー倍とスケーリング

スカラー倍は、行列の全要素に一定の定数を掛ける操作です。この操作はデータの正規化やスケーリングに応用されます。

実装例：スカラー倍

#include <stdio.h>

void scaleMatrix(int rows, int cols, int matrix[rows][cols], int scalar) {
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            matrix[i][j] *= scalar;
        }
    }
}

int main() {
    int matrix[2][3] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}};
    int scalar = 3;

    scaleMatrix(2, 3, matrix, scalar);

    printf("スカラー倍結果:
");
    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        for (int j = 0; j < 3; j++) {
            printf("%d ", matrix[i][j]);
        }
        printf("
");
    }

    return 0;
}

スカラー倍を行うことで、行列全体をスケーリングすることが可能です。

実践例：ユーザー入力を使った行列操作プログラム

ここでは、動的メモリ割り当てを活用して、ユーザーが指定した行列サイズで操作を行えるプログラムを紹介します。

実装例：ユーザー入力対応の行列操作

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

void addMatrices(int rows, int cols, int **matrix1, int **matrix2, int **result) {
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            result[i][j] = matrix1[i][j] + matrix2[i][j];
        }
    }
}

int main() {
    int rows, cols;
    printf("行列の行数を入力してください: ");
    scanf("%d", &rows);
    printf("行列の列数を入力してください: ");
    scanf("%d", &cols);

    // メモリ割り当て
    int **matrix1 = (int **)malloc(rows * sizeof(int *));
    int **matrix2 = (int **)malloc(rows * sizeof(int *));
    int **result = (int **)malloc(rows * sizeof(int *));
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        matrix1[i] = (int *)malloc(cols * sizeof(int));
        matrix2[i] = (int *)malloc(cols * sizeof(int));
        result[i] = (int *)malloc(cols * sizeof(int));
    }

    // 行列の入力
    printf("1つ目の行列を入力してください:
");
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            scanf("%d", &matrix1[i][j]);
        }
    }

    printf("2つ目の行列を入力してください:
");
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            scanf("%d", &matrix2[i][j]);
        }
    }

    // 行列の加算
    addMatrices(rows, cols, matrix1, matrix2, result);

    printf("加算結果:
");
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            printf("%d ", result[i][j]);
        }
        printf("
");
    }

    // メモリ解放
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        free(matrix1[i]);
        free(matrix2[i]);
        free(result[i]);
    }
    free(matrix1);
    free(matrix2);
    free(result);

    return 0;
}

このプログラムでは、ユーザーが行列のサイズや要素を入力でき、動的に加算結果を計算します。

5. C言語で行列を使った応用プログラム

画像処理への応用：グレースケール変換

画像処理では、ピクセルの色情報を行列で扱うことが一般的です。ここでは、RGB画像をグレースケール画像に変換する簡単な例を紹介します。

実装例：RGBからグレースケールへの変換

#include <stdio.h>

#define ROWS 3
#define COLS 3

void convertToGrayscale(int red[ROWS][COLS], int green[ROWS][COLS], int blue[ROWS][COLS], int grayscale[ROWS][COLS]) {
    for (int i = 0; i < ROWS; i++) {
        for (int j = 0; j < COLS; j++) {
            // 平均値を用いたグレースケール変換
            grayscale[i][j] = (red[i][j] + green[i][j] + blue[i][j]) / 3;
        }
    }
}

int main() {
    int red[ROWS][COLS] = {{255, 128, 64}, {64, 128, 255}, {0, 0, 0}};
    int green[ROWS][COLS] = {{64, 128, 255}, {255, 128, 64}, {0, 0, 0}};
    int blue[ROWS][COLS] = {{0, 0, 0}, {64, 128, 255}, {255, 128, 64}};
    int grayscale[ROWS][COLS];

    convertToGrayscale(red, green, blue, grayscale);

    printf("グレースケール画像:
");
    for (int i = 0; i < ROWS; i++) {
        for (int j = 0; j < COLS; j++) {
            printf("%d ", grayscale[i][j]);
        }
        printf("
");
    }

    return 0;
}

このプログラムでは、RGBデータを入力し、対応するグレースケール値を計算します。グレースケール画像は、カラー画像を単純化して扱いたい場合に役立ちます。

座標変換への応用：回転行列

回転行列は、グラフィックスや物理シミュレーションにおいて2Dまたは3D空間でオブジェクトを回転させる際に使われます。

実装例：2D座標の回転

2D空間の座標を特定の角度で回転させるプログラムを作成します。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define PI 3.14159265

void rotatePoint(float x, float y, float angle, float *newX, float *newY) {
    float radians = angle * PI / 180.0;
    *newX = x * cos(radians) - y * sin(radians);
    *newY = x * sin(radians) + y * cos(radians);
}

int main() {
    float x = 1.0, y = 0.0; // 初期座標
    float angle = 90.0; // 回転角度
    float newX, newY;

    rotatePoint(x, y, angle, &newX, &newY);

    printf("回転前: (%.2f, %.2f)
", x, y);
    printf("回転後: (%.2f, %.2f)
", newX, newY);

    return 0;
}

このプログラムでは、点(1, 0)を90度回転させた結果を計算しています。回転行列の概念は2D/3Dグラフィックスで非常に重要です。

データ分析への応用：正規化行列

データ分析では、データセットを一定の範囲にスケーリングすることが重要です。ここでは、行列の正規化を実装します。

実装例：行列の正規化

#include <stdio.h>

#define ROWS 2
#define COLS 3

void normalizeMatrix(int rows, int cols, int matrix[rows][cols], float normalized[rows][cols]) {
    int max = matrix[0][0], min = matrix[0][0];

    // 最大値と最小値を計算
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            if (matrix[i][j] > max) max = matrix[i][j];
            if (matrix[i][j] < min) min = matrix[i][j];
        }
    }

    // 正規化
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            normalized[i][j] = (float)(matrix[i][j] - min) / (max - min);
        }
    }
}

int main() {
    int matrix[ROWS][COLS] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}};
    float normalized[ROWS][COLS];

    normalizeMatrix(ROWS, COLS, matrix, normalized);

    printf("正規化行列:
");
    for (int i = 0; i < ROWS; i++) {
        for (int j = 0; j < COLS; j++) {
            printf("%.2f ", normalized[i][j]);
        }
        printf("
");
    }

    return 0;
}

このプログラムでは、行列の要素を0～1の範囲にスケーリングします。正規化はデータ分析や機械学習で頻繁に使用されます。

6. 行列操作のさらなる学習と応用

専用ライブラリの利用

手動で行列演算を実装することは基礎学習において重要ですが、大規模なプロジェクトではライブラリを活用することで効率化できます。

Eigenライブラリ

• 特徴：C++向けの高速な線形代数ライブラリ。
• 主な機能：
• 行列の加減算、乗算、転置、逆行列などの基本操作。
• 固有値計算や最小二乗法などの高度な機能。
• 公式サイト：Eigen公式ページ

GSL（GNU Scientific Library）

• 特徴：C言語向けの科学計算ライブラリ。
• 主な機能：
• 行列操作、統計計算、数値解析。
• シンプルなAPI設計で、Cプログラムに簡単に統合可能。
• 公式サイト：GSL公式ページ

BLAS（Basic Linear Algebra Subprograms）

• 特徴：高性能な線形代数計算ライブラリ。
• 主な機能：
• ベクトル・行列演算を最適化。
• 特に数値計算を必要とするアプリケーションで使用される。
• 公式サイト：Netlib BLAS

応用的なトピック

行列操作の基礎を理解した後は、以下のトピックに挑戦することで、より高度なスキルを身に付けることができます。

1. 大規模行列の処理

• 数万×数万の行列を扱う場合、計算量が増大します。そのため、効率的なアルゴリズムや分散処理を学ぶことが必要です。
• 参考トピック：行列分解（LU分解、QR分解）、スパース行列処理。

2. 数値線形代数

• 行列を使用した応用的な数学処理を学びます。
• 例：固有値・固有ベクトルの計算、行列方程式の解法。

3. 機械学習やデータ分析への応用

• 行列は機械学習の基本構造として活用されます。
• 例：
• 特異値分解（SVD）を用いた次元削減。
• 勾配降下法に基づく行列計算。

今後の学習アプローチ

行列操作の習得を進めるには、以下のようなアプローチがおすすめです。

1. 基礎の復習

• 基本的な操作（加算、減算、転置、乗算）の実装を繰り返し練習。
• 手動で行列演算を解きながらアルゴリズムを深く理解する。

1. 応用プログラムを作成する

• 簡単な画像処理プログラムや2Dゲームでの座標変換を実装。
• 実践的な課題を解くことで、行列操作を体系的に学べます。

1. オープンソースプロジェクトに参加

• 行列操作を活用したプロジェクトに貢献することで、実務レベルのスキルが磨かれます。