使用C語言計算圓周率：多種演算法與實作範例全解析

1. 使用C語計算圓周率的意義與方法

圓周率（π）定義為圓的周長與直徑的比值，是數理科學與工程等領域中極為重要的常數。使用C語言計算圓周率，不僅有助於理解演算法，也能學習數值計算的基礎，具有重要意義。本文將逐步解說多種以C語言求取圓周率的方法，為對數值計算感興趣的讀者提供實用知識。

2. C語言的圓周率基本計算方法

利用萊布尼茨級數計算圓周率

萊布尼茨級數是一種利用無限級數計算圓周率的方法，其公式如下：

實作範例

以下程式示範如何在C語言中利用萊布尼茨級數計算圓周率。使用者可輸入計算次數，重複運算以取得圓周率的近似值。

#include <stdio.h>

int main() {
    int n, i;
    double pi = 0.0;
    int sign = 1;

    printf("請輸入計算次數: ");
    scanf("%d", &n);

    for (i = 0; i < n; i++) {
        pi += sign * (4.0 / (2 * i + 1));
        sign = -sign;
    }

    printf("圓周率近似值: %.15fn", pi);
    return 0;
}

優點: 實作簡單、易於理解
缺點: 收斂速度非常慢，不適合高精度計算

3. 利用蒙地卡羅法估算圓周率

蒙地卡羅法透過隨機在方形內投點，判斷該點是否落在圓內，並以機率的方式估算圓周率。

實作範例

以下示範在C語言中使用蒙地卡羅法估算圓周率的程式：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

int main() {
    int n, i;
    int inside_circle = 0;
    double x, y, pi;

    printf("請輸入總投點數: ");
    scanf("%d", &n);

    srand(time(0));

    for (i = 0; i < n; i++) {
        x = (double)rand() / RAND_MAX;
        y = (double)rand() / RAND_MAX;

        if ((x * x + y * y) <= 1) {
            inside_circle++;
        }
    }

    pi = 4.0 * inside_circle / n;
    printf("圓周率近似值: %.15fn", pi);

    return 0;
}

優點: 實作簡單，能學習機率概念
缺點: 收斂速度慢，不適合計算高精度圓周率

4. 高斯－勒讓德演算法

高斯－勒讓德演算法是一種高效的方法，可在少量迭代下計算出極高精度的圓周率。

實作範例

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double a = 1.0;
    double b = 1.0 / sqrt(2.0);
    double t = 0.25;
    double p = 1.0;
    double pi;
    int n, iterations;

    printf("請輸入迭代次數: ");
    scanf("%d", &iterations);

    for (n = 0; n < iterations; n++) {
        double a_next = (a + b) / 2.0;
        double b_next = sqrt(a * b);
        double t_next = t - p * pow(a - a_next, 2);

        a = a_next;
        b = b_next;
        t = t_next;
        p = 2 * p;
    }

    pi = pow(a + b, 2) / (4 * t);
    printf("圓周率近似值: %.15fn", pi);

    return 0;
}

優點: 收斂速度極快，精度高
缺點: 實作較複雜，需要數值計算知識

5. 精度與效率比較

6. 總結

使用C語言計算圓周率的方法很多，收斂速度、精度與計算量各有差異。應根據程式目的與精度需求選擇合適方法。若需要高精度計算，可選擇高斯－勒讓德演算法；若想嘗試簡單實作，可用萊布尼茨級數等，並依學習需求靈活運用。