C語言矩陣教學：從基礎概念到進階應用的完整指南│C言語ナビゲーター～システム開発のための最強リソース～

1 1. 為什麼要在C語言中學習矩陣
- 1.1 在C語言中學習矩陣的意義
  - 1.1.1 什麼是矩陣
  - 1.1.2 在C語言中處理的意義
2 2. 矩陣基礎與C語言的表示方法
- 2.1 矩陣的基本概念
- 2.2 C語言中矩陣的表示方式
  - 2.2.1 靜態矩陣的宣告
  - 2.2.2 使用動態記憶體分配的矩陣
3 3. 在C語言中操作矩陣的方法
4 4. 進階矩陣操作與實務範例
5 5. 使用C語言的矩陣應用程式範例
6 6. 進一步學習與應用矩陣操作

1. 為什麼要在C語言中學習矩陣

在C語言中學習矩陣的意義

學習如何使用C語言操作矩陣，不僅能提升程式設計能力，還能拓展應用範圍，是邁向進階的重要一步。

什麼是矩陣

矩陣是一種將數字以格狀排列的數學結構，由行與列組成。例如如下所示：

| 1  2  3 |
| 4  5  6 |
| 7  8  9 |

此範例為3行3列的矩陣。矩陣廣泛應用於以下領域：

電腦圖形學：3D物件的旋轉與縮放。
機器學習：資料向量運算與矩陣計算。
物理模擬：系統狀態的建模。

在C語言中處理的意義

C語言具有優秀的效能與靈活性，適合處理大型資料與低階計算。在C語言中學習矩陣運算，可以獲得以下技能：

理解記憶體操作：使用動態記憶體分配進行靈活的資料管理。
構建高效演算法：利用三重迴圈與陣列的計算方法。
應用型專案能力：科學計算、影像處理與機器學習。

本文將提供從基礎到應用的系統化學習內容。

2. 矩陣基礎與C語言的表示方法

矩陣的基本概念

作為矩陣操作的基礎，首先要理解矩陣的結構與基本操作。矩陣支援以下操作：

純量乘法：將矩陣的所有元素乘以固定值。
加法與減法：對應元素進行加減運算。
乘法：計算矩陣乘積（計算規則稍有不同）。
轉置：將行與列互換。

C語言中矩陣的表示方式

在C語言中，矩陣主要以「二維陣列」表示。

靜態矩陣的宣告

若矩陣大小事先已知，可使用二維陣列表示，如下所示：

#include <stdio.h>

int main() {
    int matrix[3][3] = {
        {1, 2, 3},
        {4, 5, 6},
        {7, 8, 9}
    };

    printf("matrix[1][1] = %d\n", matrix[1][1]);  // 結果: 5
    return 0;
}

此範例中宣告了一個3×3矩陣，並初始化了元素。

使用動態記憶體分配的矩陣

若需要動態決定矩陣大小，可使用malloc分配記憶體。範例如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main() {
    int rows = 3, cols = 3;
    int **matrix = (int **)malloc(rows * sizeof(int *));
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        matrix[i] = (int *)malloc(cols * sizeof(int));
    }

    // 賦值
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            matrix[i][j] = i * cols + j + 1; // 填入1到9
        }
    }

    // 輸出
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            printf("%d ", matrix[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    // 釋放記憶體
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        free(matrix[i]);
    }
    free(matrix);

    return 0;
}

此方法可動態決定矩陣大小，提升靈活性。

3. 在C語言中操作矩陣的方法

矩陣的加法與減法

矩陣加法與減法是將對應位置的元素分別相加或相減的簡單操作。

範例實作：矩陣加法

以下程式將相同大小的兩個矩陣相加：

#include <stdio.h>

#define ROWS 2
#define COLS 3

void addMatrices(int matrix1[ROWS][COLS], int matrix2[ROWS][COLS], int result[ROWS][COLS]) {
    for (int i = 0; i < ROWS; i++) {
        for (int j = 0; j < COLS; j++) {
            result[i][j] = matrix1[i][j] + matrix2[i][j];
        }
    }
}

int main() {
    int matrix1[ROWS][COLS] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}};
    int matrix2[ROWS][COLS] = {{6, 5, 4}, {3, 2, 1}};
    int result[ROWS][COLS];

    addMatrices(matrix1, matrix2, result);

    printf("加法結果:\n");
    for (int i = 0; i < ROWS; i++) {
        for (int j = 0; j < COLS; j++) {
            printf("%d ", result[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

範例實作：矩陣減法

與加法幾乎相同，只需將+改為-即可。

矩陣的乘法

矩陣乘法稍微複雜，需將第一個矩陣的行與第二個矩陣的列相乘並求和。

範例實作：矩陣乘法

以下程式將一個2×3矩陣與一個3×2矩陣相乘，得到2×2矩陣：

#include <stdio.h>

#define ROWS1 2
#define COLS1 3
#define ROWS2 3
#define COLS2 2

void multiplyMatrices(int matrix1[ROWS1][COLS1], int matrix2[ROWS2][COLS2], int result[ROWS1][COLS2]) {
    for (int i = 0; i < ROWS1; i++) {
        for (int j = 0; j < COLS2; j++) {
            result[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k < COLS1; k++) {
                result[i][j] += matrix1[i][k] * matrix2[k][j];
            }
        }
    }
}

int main() {
    int matrix1[ROWS1][COLS1] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}};
    int matrix2[ROWS2][COLS2] = {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}};
    int result[ROWS1][COLS2];

    multiplyMatrices(matrix1, matrix2, result);

    printf("乘法結果:\n");
    for (int i = 0; i < ROWS1; i++) {
        for (int j = 0; j < COLS2; j++) {
            printf("%d ", result[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

矩陣的轉置

矩陣轉置是將矩陣的行與列對調。

範例實作：矩陣轉置

#include <stdio.h>

#define ROWS 2
#define COLS 3

void transposeMatrix(int matrix[ROWS][COLS], int transposed[COLS][ROWS]) {
    for (int i = 0; i < ROWS; i++) {
        for (int j = 0; j < COLS; j++) {
            transposed[j][i] = matrix[i][j];
        }
    }
}

int main() {
    int matrix[ROWS][COLS] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}};
    int transposed[COLS][ROWS];

    transposeMatrix(matrix, transposed);

    printf("轉置矩陣:\n");
    for (int i = 0; i < COLS; i++) {
        for (int j = 0; j < ROWS; j++) {
            printf("%d ", transposed[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

轉置矩陣的計算是獲得一個行與列互換的新矩陣。

4. 進階矩陣操作與實務範例

逆矩陣的計算

逆矩陣是指與原矩陣相乘後可得到單位矩陣的矩陣。然而，並非所有矩陣都有逆矩陣，只有在矩陣為「非奇異」（行列式不為0）的情況下才存在。

範例實作：2×2矩陣的逆矩陣

以下為計算2×2矩陣逆矩陣的程式範例：

#include <stdio.h>

void calculateInverse(int matrix[2][2], float inverse[2][2]) {
    int determinant = matrix[0][0] * matrix[1][1] - matrix[0][1] * matrix[1][0];
    if (determinant == 0) {
        printf("逆矩陣不存在。\n");
        return;
    }

    inverse[0][0] = (float)matrix[1][1] / determinant;
    inverse[0][1] = (float)-matrix[0][1] / determinant;
    inverse[1][0] = (float)-matrix[1][0] / determinant;
    inverse[1][1] = (float)matrix[0][0] / determinant;
}

int main() {
    int matrix[2][2] = {{4, 7}, {2, 6}};
    float inverse[2][2];

    calculateInverse(matrix, inverse);

    printf("逆矩陣:\n");
    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        for (int j = 0; j < 2; j++) {
            printf("%.2f ", inverse[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

此程式會先計算行列式，再推導出逆矩陣。對於2×2矩陣，這種方法非常有效。

純量乘法與縮放

純量乘法是將矩陣的所有元素乘上一個固定常數。這個操作在資料正規化或縮放處理中相當有用。

範例實作：純量乘法

#include <stdio.h>

void scaleMatrix(int rows, int cols, int matrix[rows][cols], int scalar) {
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            matrix[i][j] *= scalar;
        }
    }
}

int main() {
    int matrix[2][3] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}};
    int scalar = 3;

    scaleMatrix(2, 3, matrix, scalar);

    printf("純量乘法結果:\n");
    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        for (int j = 0; j < 3; j++) {
            printf("%d ", matrix[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

透過純量乘法，可以對整個矩陣進行縮放。

實務範例：使用者輸入的矩陣操作

這裡示範如何利用動態記憶體分配，讓使用者輸入矩陣大小並進行操作。

範例實作：支援使用者輸入的矩陣加法

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

void addMatrices(int rows, int cols, int **matrix1, int **matrix2, int **result) {
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            result[i][j] = matrix1[i][j] + matrix2[i][j];
        }
    }
}

int main() {
    int rows, cols;
    printf("請輸入矩陣的行數: ");
    scanf("%d", &rows);
    printf("請輸入矩陣的列數: ");
    scanf("%d", &cols);

    // 記憶體分配
    int **matrix1 = (int **)malloc(rows * sizeof(int *));
    int **matrix2 = (int **)malloc(rows * sizeof(int *));
    int **result = (int **)malloc(rows * sizeof(int *));
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        matrix1[i] = (int *)malloc(cols * sizeof(int));
        matrix2[i] = (int *)malloc(cols * sizeof(int));
        result[i] = (int *)malloc(cols * sizeof(int));
    }

    // 輸入第一個矩陣
    printf("請輸入第一個矩陣:\n");
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            scanf("%d", &matrix1[i][j]);
        }
    }

    // 輸入第二個矩陣
    printf("請輸入第二個矩陣:\n");
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            scanf("%d", &matrix2[i][j]);
        }
    }

    // 矩陣加法
    addMatrices(rows, cols, matrix1, matrix2, result);

    // 輸出結果
    printf("加法結果:\n");
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            printf("%d ", result[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    // 釋放記憶體
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        free(matrix1[i]);
        free(matrix2[i]);
        free(result[i]);
    }
    free(matrix1);
    free(matrix2);
    free(result);

    return 0;
}

此程式允許使用者自訂矩陣大小與元素，並計算加法結果。

5. 使用C語言的矩陣應用程式範例

影像處理應用：灰階轉換

在影像處理中，像素的顏色資訊通常以矩陣形式表示。以下示範將RGB彩色影像轉換成灰階影像的簡單範例。

範例實作：RGB轉灰階

#include <stdio.h>

#define ROWS 3
#define COLS 3

void convertToGrayscale(int red[ROWS][COLS], int green[ROWS][COLS], int blue[ROWS][COLS], int grayscale[ROWS][COLS]) {
    for (int i = 0; i < ROWS; i++) {
        for (int j = 0; j < COLS; j++) {
            // 使用平均值轉換為灰階
            grayscale[i][j] = (red[i][j] + green[i][j] + blue[i][j]) / 3;
        }
    }
}

int main() {
    int red[ROWS][COLS] = {{255, 128, 64}, {64, 128, 255}, {0, 0, 0}};
    int green[ROWS][COLS] = {{64, 128, 255}, {255, 128, 64}, {0, 0, 0}};
    int blue[ROWS][COLS] = {{0, 0, 0}, {64, 128, 255}, {255, 128, 64}};
    int grayscale[ROWS][COLS];

    convertToGrayscale(red, green, blue, grayscale);

    printf("灰階影像:\n");
    for (int i = 0; i < ROWS; i++) {
        for (int j = 0; j < COLS; j++) {
            printf("%d ", grayscale[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

該程式會將RGB資料轉換為對應的灰階值，在需要簡化影像資料時非常有用。

座標轉換應用：旋轉矩陣

旋轉矩陣在電腦圖形學與物理模擬中用於在2D或3D空間中旋轉物件。

範例實作：2D座標旋轉

以下示範在2D空間中將座標依特定角度旋轉。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define PI 3.14159265

void rotatePoint(float x, float y, float angle, float *newX, float *newY) {
    float radians = angle * PI / 180.0;
    *newX = x * cos(radians) - y * sin(radians);
    *newY = x * sin(radians) + y * cos(radians);
}

int main() {
    float x = 1.0, y = 0.0; // 原始座標
    float angle = 90.0;     // 旋轉角度
    float newX, newY;

    rotatePoint(x, y, angle, &newX, &newY);

    printf("旋轉前: (%.2f, %.2f)\n", x, y);
    printf("旋轉後: (%.2f, %.2f)\n", newX, newY);

    return 0;
}

此程式將點 (1, 0) 旋轉90度，旋轉矩陣的概念在2D與3D圖形學中都非常重要。

資料分析應用：矩陣正規化

在資料分析中，將資料縮放至特定範圍（例如0到1）非常重要。以下示範如何對矩陣進行正規化。

範例實作：矩陣正規化

#include <stdio.h>

#define ROWS 2
#define COLS 3

void normalizeMatrix(int rows, int cols, int matrix[rows][cols], float normalized[rows][cols]) {
    int max = matrix[0][0], min = matrix[0][0];

    // 找出最大值與最小值
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            if (matrix[i][j] > max) max = matrix[i][j];
            if (matrix[i][j] < min) min = matrix[i][j];
        }
    }

    // 正規化
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            normalized[i][j] = (float)(matrix[i][j] - min) / (max - min);
        }
    }
}

int main() {
    int matrix[ROWS][COLS] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}};
    float normalized[ROWS][COLS];

    normalizeMatrix(ROWS, COLS, matrix, normalized);

    printf("正規化矩陣:\n");
    for (int i = 0; i < ROWS; i++) {
        for (int j = 0; j < COLS; j++) {
            printf("%.2f ", normalized[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

此程式將矩陣元素縮放到0～1範圍內，這在資料分析與機器學習中非常常見。

6. 進一步學習與應用矩陣操作

使用專用函式庫

雖然手動實作矩陣運算對基礎學習非常重要，但在大型專案中，使用現成的函式庫能大幅提升效率。

Eigen 函式庫

特色：適用於 C++ 的高效線性代數函式庫。
主要功能：
矩陣加減、乘法、轉置、逆矩陣等基本操作。
特徵值計算、最小平方法等高階功能。
官方網站：Eigen 官方頁面

GSL（GNU Scientific Library）

特色：適用於 C 語言的科學計算函式庫。
主要功能：
矩陣操作、統計計算、數值分析。
簡潔的 API 設計，方便整合至 C 程式。
官方網站：GSL 官方頁面

BLAS（Basic Linear Algebra Subprograms）

特色：高效的線性代數計算函式庫。
主要功能：
最佳化的向量與矩陣運算。
廣泛用於需要高性能數值計算的應用程式。
官方網站：Netlib BLAS

進階主題

在理解矩陣操作的基礎後，可以進一步挑戰以下主題來提升技能：

1. 大規模矩陣處理

當矩陣規模達到數萬 × 數萬時，計算量會急遽增加，需要學習高效演算法與分散式運算。
延伸主題：矩陣分解（LU 分解、QR 分解）、稀疏矩陣處理。

2. 數值線性代數

學習利用矩陣進行高階數學運算。
範例：特徵值與特徵向量計算、矩陣方程式求解。

3. 機器學習與資料分析應用

矩陣是機器學習的核心資料結構之一。
範例：
使用奇異值分解（SVD）進行降維。
基於梯度下降法的矩陣計算。

未來的學習方法

要持續提升矩陣操作技能，可以採取以下學習策略：

複習基礎

反覆練習加法、減法、轉置、乘法等基本操作的程式實作。
透過手算矩陣運算加深對演算法的理解。

製作應用程式

嘗試開發簡單的影像處理程式或 2D 遊戲座標轉換功能。
透過實務專案，系統化學習矩陣操作。

參與開源專案

參與需要矩陣運算的開源專案，有助於累積實務經驗與提升程式設計能力。

C語言矩陣教學：從基礎概念到進階應用的完整指南