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C語言階乘教學：for迴圈與遞迴實作、應用與效能最佳化全解析

輸入輸出與檔案操作
目次

1. 什麼是C語言的階乘計算

本篇以 C 語言 階乘為主題，學習階乘計算的基礎知識。階乘（factorial）是指對於自然數 n，將 1 到 n 的所有連續整數相乘的結果。在數學上表達如下：

  • n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 1

這個計算在組合、機率論、數列運算等多種數學應用中都扮演重要角色。例如，3!（3 的階乘）就是 3 × 2 × 1 = 6。本文將詳細解說如何用 C 語言來實作階乘。

2. C語言階乘計算的基礎：活用for迴圈

首先，學習如何利用 for 迴圈來進行階乘計算。這種方法不使用遞迴函式，相對簡單且易於理解。

基本的for迴圈實作

以下是使用 C 語言 for 迴圈計算階乘的範例程式碼。

#include <stdio.h>

int main() {
    int n, i;
    unsigned long long factorial = 1;  // 用來儲存階乘結果的變數

    printf("請輸入整數: ");
    scanf("%d", &n);

    // 若為負數，顯示錯誤訊息
    if (n < 0)
        printf("負整數沒有階乘。\n");
    else {
        // 計算階乘
        for (i = 1; i <= n; ++i) {
            factorial *= i;
        }
        printf("%d 的階乘 = %llu\n", n, factorial);
    }

    return 0;
}

說明

  • 之所以使用 unsigned long long 型態，是因為階乘計算結果有可能非常大，一般的 int 型態不夠用，所以要用能表示更大範圍的 unsigned long long。
  • for 迴圈從 1 執行到 n，每次將目前的值乘到 factorial 變數中。

這種方法簡單，是理解階乘計算的基礎。接下來介紹使用遞迴函式的做法。

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3. 用遞迴函式計算階乘

階乘計算也可以用遞迴函式來實現。這種方式可以讓程式更短，且更貼近數學上階乘的定義。

遞迴函式實作

以下為 C 語言中用遞迴函式計算階乘的程式範例。

#include <stdio.h>

// 遞迴函式定義
unsigned long long factorial(int n) {
    if (n == 0 || n == 1)
        return 1;  // 基本條件: n 等於 0 或 1 時，階乘為 1
    else
        return n * factorial(n - 1);  // 遞迴計算 n 與 (n-1) 的階乘
}

int main() {
    int n;
    printf("請輸入整數: ");
    scanf("%d", &n);

    if (n < 0)
        printf("負整數沒有階乘。\n");
    else
        printf("%d 的階乘 = %llu\n", n, factorial(n));

    return 0;
}

說明

  • 遞迴函式會先設基本條件（n 為 0 或 1 時），這很重要，否則遞迴會無限進行下去，無法正確結束。
  • 遞迴運算跟數學上的階乘定義（n! = n × (n – 1)!）完全相同，直觀且易於理解。

使用遞迴可以讓程式碼更精簡、易讀，但計算大數時效能可能比 for 迴圈略差。

4. 錯誤處理與資料型態的選擇

計算階乘時，數值可能會過大導致溢位，也需要處理負數輸入的錯誤。

防止溢位

由於階乘值成長很快，一般 int 型態裝不下。因此，和上述程式一樣，建議使用 unsigned long long 型態來處理較大的數。

若數值大到連 unsigned long long 都不夠，則可考慮使用大數運算函式庫（如 GNU MP 等）。

負數的錯誤處理

階乘不定義於負整數，因此用戶若輸入負數，要提示錯誤訊息。

if (n < 0)
    printf("負整數沒有階乘。\n");

這樣可避免用戶輸入不合法資料時產生錯誤。

5. 階乘計算的應用範例

階乘在數學與演算法中有許多應用。以下介紹幾個常見實例。

組合計算

組合（Combination）是在給定元素中選出特定數量元素的計算方式，公式如下，使用階乘計算：

  • C(n, r) = n! / (r! * (n – r)!)

在 C 語言實作時，也可以直接重用階乘函式來計算。

機率計算

在機率論領域，處理排列與組合時經常要用到階乘，是基本的數學運算。

6. 效能最佳化建議

若要提升階乘計算效能，有幾種方式。例如，使用遞迴時，計算層級加深會影響效能，因此可考慮記憶體化（Memoization）或迴圈最佳化技術。

利用記憶體化提升效能

所謂記憶體化，就是將計算過的結果暫存下來，下次再用到時直接取用，減少重複運算，讓遞迴效率大幅提升。

7. 總結與進階學習方向

本文從 C 語言階乘的基礎、遞迴函式的運用、錯誤處理、到效能最佳化皆有介紹。階乘是數學及演算法中不可或缺的概念。歡迎你參考本文內容，實際動手寫階乘相關程式，加強理解。

進一步的學習方向

接下來可挑戰將階乘計算實際應用於專案或 App。例如：

  • 挑戰更進階的演算法
    面對組合、機率等問題時，運用階乘可讓你解決更多數學與程式設計挑戰。尤其在競賽程式設計或數學題時，階乘應用很常見，可鍛鍊實戰能力。
  • 大數據時代的效能最佳化
    處理大量資料時，最佳化階乘演算效能非常重要。可以嘗試記憶體化（Memoization）、動態規劃等技術，寫出高效程式。
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