C語言 math.h 徹底指南｜主要函式、用法與實作範例

1. 前言

math.h 是什麼？

math.h 的使用好處

• 可用簡單的函式實作數學計算
• 可輕鬆實作高精度計算
• 作為標準函式庫，無需額外安裝

math.h 的引用方式

#include <stdio.h>
#include <math.h>

gcc program.c -o program -lm

math.h 的主要用途

1. 利用三角函數進行角度計算
2. 利用指數與對數進行數值運算
3. 平方根計算
4. 數值的四捨五入處理
5. 絕對值計算

2. 用途別 math.h 的主要函式

2.1 三角函式（角度的計算）

sin()、cos()、tan() 的概述

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double angle = 3.14159 / 4; // 45度（弧度）

    printf("sin(45°) = %f
", sin(angle));
    printf("cos(45°) = %f
", cos(angle));
    printf("tan(45°) = %f
", tan(angle));

    return 0;
}

sin(45°) = 0.707107
cos(45°) = 0.707107
tan(45°) = 1.000000

• math.h 的三角函式以 弧度 為輸入。度單位的值使用時，需要 (角度 × π / 180) 的轉換。

double degrees = 45.0;
double radians = degrees * M_PI / 180.0;

2.2 反三角函式（求取角度）

asin()、acos()、atan()、atan2() 的概述

• asin(x)：返回 x 的反正弦（arc sine），範圍為（-π/2 ～ π/2）
• acos(x)：返回 x 的反餘弦（arc cosine），範圍為（0 ～ π）
• atan(x)：返回 x 的反正切（arc tangent），範圍為（-π/2 ～ π/2）
• atan2(y, x)：返回 y/x 的反正切（支援全部象限）

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double value = 0.5;

    printf("asin(0.5) = %f 弧度
", asin(value));
    printf("acos(0.5) = %f 弧度
", acos(value));
    printf("atan(1.0) = %f 弧度
", atan(1.0));
    printf("atan2(1.0, 1.0) = %f 弧度
", atan2(1.0, 1.0));

    return 0;
}

• asin() 與 acos() 的參數必須在 -1.0 到 1.0 之間。超出此範圍會返回 NaN（非數）。

2.3 指數與對數函式（指數計算與對數計算）

exp()、log()、log10() 的概述

• exp(x)：計算 e^x
• log(x)：計算自然對數（ln x），底為 e
• log10(x)：計算常用對數（底 10）

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double x = 2.0;

    printf("exp(2.0) = %f
", exp(x));
    printf("log(10.0) = %f
", log(10.0));
    printf("log10(100.0) = %f
", log10(100.0));

    return 0;
}

exp(2.0) = 7.389056
log(10.0) = 2.302585
log10(100.0) = 2.000000

• log() 若傳入 ≤0 的值會返回 NaN（例如：log(0.0)）。
• exp(x) 若傳入過大值可能會 溢位。

2.4 次方與平方根（數值運算）

pow()、sqrt() 的概述

• pow(x, y)：計算 x^y（x 的 y 次方）
• sqrt(x)：計算 x 的平方根

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double x = 9.0;

    printf("pow(2, 3) = %f
", pow(2.0, 3.0));
    printf("sqrt(9.0) = %f
", sqrt(x));

    return 0;
}

• pow(x, y) 若將 y 指定為 0.5 也可計算平方根（pow(9.0, 0.5) = 3.0）。
• sqrt(x) 若傳入負值會返回 NaN。

2.5 數值處理（四捨五入與絕對值）

fabs()、ceil()、floor()、round() 的概述

• fabs(x)：求取 x 的絕對值
• ceil(x)：將 x 向上取整（小數點以下進位）
• floor(x)：將 x 向下取整（小數點以下捨去）
• round(x)：將 x 四捨五入

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double num = -5.7;

    printf("fabs(-5.7) = %f
", fabs(num));
    printf("ceil(-5.7) = %f
", ceil(num));
    printf("floor(-5.7) = %f
", floor(num));
    printf("round(-5.7) = %f
", round(num));

    return 0;
}

fabs(-5.7) = 5.700000
ceil(-5.7) = -5.000000
floor(-5.7) = -6.000000
round(-5.7) = -6.000000

3. math.h 的使用方法與注意事項

3.1 使用 math.h 時的編譯選項

GCC 的編譯方式

undefined reference to `sin'

gcc program.c -o program -lm

Clang 與 MSVC 的情況

• 在某些環境下，Clang 仍可能需要 -lm 選項。
• 在 Microsoft Visual Studio（MSVC）中，即使未指定 -lm，也能使用 math.h 的函式。

3.2 浮點數精度與誤差的注意事項

什麼是浮點誤差？

誤差的具體例子

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double x = 0.1;
    double y = 0.2;
    double z = 0.3;

    if ((x + y) == z) {
        printf("Equaln");
    } else {
        printf("Not Equaln");
    }

    return 0;
}

Not Equal

考慮浮點誤差的比較

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define EPSILON 1e-9

int main() {
    double x = 0.1, y = 0.2, z = 0.3;

    if (fabs((x + y) - z) < EPSILON) {
        printf("Approximately Equaln");
    } else {
        printf("Not Equaln");
    }

    return 0;
}

Approximately Equal

3.3 math.h 的錯誤處理

錯誤發生的例子

• sqrt(-1.0) → NaN（非數）
• log(0.0) → -inf（負無限大）
• 1.0 / 0.0 → inf（正無限大）

使用 errno 的錯誤處理

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <errno.h>

int main() {
    errno = 0; // 重設 errno
    double result = sqrt(-1.0); 

    if (errno != 0) {
        perror("計算錯誤發生");
    } else {
        printf("結果: %fn", result);
    }

    return 0;
}

3.4 math.h 使用的最佳實踐

• 編譯時加入 -lm 選項
• 考慮浮點誤差，比較時使用閾值
• 對於傳入的無效輸入值進行錯誤處理
• 檢查避免發生溢位/下溢
• 確認計算結果不是 NaN 或 inf

4. FAQ（常見問題）

4.1 math.h 的函式發生錯誤時的處理方法？

問題範例

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double result = sqrt(-1.0);
    printf("sqrt(-1.0) = %fn", result);
    return 0;
}

sqrt(-1.0) = nan

對策

• 事先檢查輸入值，避免無效的值進入。
• 利用 errno 來偵測錯誤。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <errno.h>

int main() {
    errno = 0;
    double result = sqrt(-1.0);

    if (errno == EDOM) {
        printf("錯誤: 無效的輸入值n");
    } else {
        printf("sqrt(-1.0) = %fn", result);
    }

    return 0;
}

4.2 使用 math.h 時需要的編譯選項是什麼？

編譯方法

gcc program.c -o program -lm

如果不指定選項會怎樣？

/tmp/ccxlj3hs.o: In function `main':
program.c:(.text+0x15): undefined reference to `sin'
collect2: error: ld returned 1 exit status

4.3 使用 math.h 的函式時的精度如何？

問題範例

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double x = 0.1, y = 0.2;
    double z = x + y;

    if (z == 0.3) {
        printf("等於n");
    } else {
        printf("不同n");
    }

    return 0;
}

不同

對策

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define EPSILON 1e-9

int main() {
    double x = 0.1, y = 0.2, z = 0.3;

    if (fabs((x + y) - z) < EPSILON) {
        printf("幾乎相等n");
    } else {
        printf("不同n");
    }

    return 0;
}

幾乎相等

4.4 math.h 的函式可以用於整數型嗎？

問題範例

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    int x = 4;
    printf("sqrt(4) = %fn", sqrt(x));
    return 0;
}

對策

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    int x = 4;
    double result = sqrt((double)x); // 明確的型別轉換
    printf("sqrt(4) = %fn", result);
    return 0;
}

4.5 math.h 中有定義圓周率常數嗎？

使用範例

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    printf("π = %.15fn", M_PI);
    return 0;
}

π = 3.141592653589793

如果無法使用 M_PI

#ifndef M_PI
#define M_PI 3.14159265358979323846
#endif

5. math.h 的應用：實用範例

5.1 物理模擬中的應用

1. 物體的落下運動（自由落下的計算）

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define G 9.81  // 重力加速度

int main() {
    double time = 3.0;  // 3秒的落下
    double distance = 0.5 * G * pow(time, 2);

    printf("物體在 %.2f 秒後會落下 %.2f 公尺。n", time, distance);
    return 0;
}

物體在 3.00 秒後會落下 44.15 公尺。

5.2 統計分析中的應用

標準差的計算

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double mean(double data[], int size) {
    double sum = 0.0;
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        sum += data[i];
    }
    return sum / size;
}

double standardDeviation(double data[], int size) {
    double avg = mean(data, size);
    double sum = 0.0;
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        sum += pow(data[i] - avg, 2);
    }
    return sqrt(sum / size);
}

int main() {
    double dataset[] = {10.0, 20.0, 30.0, 40.0, 50.0};
    int size = sizeof(dataset) / sizeof(dataset[0]);

    printf("標準差: %.2fn", standardDeviation(dataset, size));
    return 0;
}

標準差: 14.14

5.3 遊戲開發中的應用

2D 遊戲中的角色角度計算

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double playerX = 1.0, playerY = 1.0;
    double enemyX = 4.0, enemyY = 5.0;

    double angle = atan2(enemyY - playerY, enemyX - playerX) * 180.0 / M_PI;

    printf("敵人的方向: %.2f 度n", angle);
    return 0;
}

敵人的方向: 45.00 度

3D 遊戲中的碰撞判定

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double obj1[3] = {1.0, 2.0, 3.0};  // 物件1的座標
    double obj2[3] = {4.0, 6.0, 3.0};  // 物件2的座標
    double distance;

    distance = sqrt(pow(obj2[0] - obj1[0], 2) +
                    pow(obj2[1] - obj1[1], 2) +
                    pow(obj2[2] - obj1[2], 2));

    printf("物件間的距離: %.2fn", distance);
    return 0;
}

物件間的距離: 5.00

6. 總結

6.1 math.h 的主要要點

1. math.h 的基礎

• C 語言的標準函式庫，用於數學計算。
• #include <math.h> 需要在程式的開頭宣告。

1. 編譯時的注意事項

• math.h 的函式若要使用，GCC 需要 -lm 選項。

   gcc program.c -o program -lm

3. 依用途的主要函式

• 三角函式（sin, cos, tan） → 角度計算
• 反三角函式（asin, acos, atan, atan2） → 取得角度
• 指數與對數（exp, log, log10） → 指數與對數運算
• 冪次與平方根（pow, sqrt） → 冪次與平方根
• 數值處理（fabs, ceil, floor, round） → 絕對值與四捨五入處理

3. 精度與誤差的考量

• math.h 的函式使用 浮點運算（IEEE 754 標準），因此會產生精度誤差。

   #define EPSILON 1e-9
   if (fabs(a - b) < EPSILON) { /* 判斷為幾乎相等 */ }

5. 錯誤處理

• 傳入無效的輸入（例如 sqrt(-1.0), log(0.0)）可能會產生 NaN 或 inf。

   errno = 0;
   double result = sqrt(-1.0);
   if (errno != 0) {
       perror("錯誤發生");
   }

6. 實用範例

• 物理模擬 → 計算落體運動與拋射運動
• 統計分析 → 計算標準差
• 遊戲開發 → 敵人方向計算（atan2()）與碰撞判定（sqrt()）

6.2 math.h 學習參考連結

• 官方文件
• C 標準函式庫的 math.h 文件
• GNU C Library 的 math.h 文件
• 相關學習網站
• 苦學 C 語言（數學函式篇）
• Wikibooks: C 語言/標準函式庫/math.h

6.3 最終學習步驟

1. 嘗試基本函式

• sqrt(), pow(), sin(), cos() 等函式，製作簡單的程式。

1. 撰寫考慮錯誤處理的程式碼

• 利用 errno 了解無效輸入時的行為。

1. 製作實用程式

• 在遊戲開發、資料分析等具體專案中活用 math.h。

最終總結