1. 前言
C 語言廣泛應用於系統開發與嵌入式系統，並在需要高速處理的場景中展現其效能。特別是在數學計算中，三角函數被廣泛用於物理模擬、圖形繪製、訊號處理等多種情境。
本文將詳細解說 C 語言中三角函數的基礎用法與進階應用。初學者可藉此扎實掌握基礎，中高階開發者則可透過應用範例提升實作能力。
本文將學到的內容
- C 語言三角函數的基本用法
- 各函數的運作方式與用途
- 應用範例與效能最佳化要點
接下來將結合具體的函數說明與範例程式碼進行講解，請務必閱讀到最後。
2. C 語言三角函數一覽與功能解說
在 C 語言中，要使用數學函數必須先引入標準函式庫 <math.h>。該函式庫提供了多種處理三角函數的工具。以下將依功能分類介紹。
基本函數
sin(double x)– 回傳以弧度為單位指定角度的正弦值。cos(double x)– 回傳以弧度為單位指定角度的餘弦值。tan(double x)– 回傳以弧度為單位指定角度的正切值。
反三角函數
asin(double x)– 計算輸入值的反正弦（結果以弧度表示）。acos(double x)– 計算輸入值的反餘弦。atan(double x)– 計算輸入值的反正切。
特殊函數
atan2(double y, double x)– 回傳座標 (x, y) 對應的角度（以弧度表示）。由於能分開處理分子與分母，可避免除以零的錯誤。
輔助函數
hypot(double x, double y)– 使用畢氏定理計算點 (x, y) 到原點的距離。
注意事項：角度單位
C 語言的三角函數運算一律以弧度為單位，因此若使用角度制輸入，需先進行轉換。
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define PI 3.141592653589793
int main() {
double degree = 45.0;
double radian = degree * (PI / 180.0); // 度轉弧度
printf("sin(45度) = %fn", sin(radian));
return 0;
}此程式會計算 45 度的正弦值並輸出結果。請留意角度制與弧度的差異。
3. 三角函數的基本用法
本節將透過具體的程式碼範例，說明如何在 C 語言中使用三角函數。
正弦、餘弦、正切函數的使用範例
範例程式: 基本使用 sin(), cos(), tan()
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define PI 3.141592653589793
int main() {
double angle = 45.0; // 角度制
double radian = angle * (PI / 180.0); // 轉換為弧度
printf("sin(%.2f度) = %.6fn", angle, sin(radian));
printf("cos(%.2f度) = %.6fn", angle, cos(radian));
printf("tan(%.2f度) = %.6fn", angle, tan(radian));
return 0;
}輸出範例:
sin(45.00度) = 0.707107
cos(45.00度) = 0.707107
tan(45.00度) = 1.000000 反三角函數的使用範例
反三角函數用於計算角度。
範例程式: 基本使用 asin(), acos(), atan()
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main() {
double value = 0.5; // 輸入值
printf("asin(%.2f) = %.6f (弧度)n", value, asin(value));
printf("acos(%.2f) = %.6f (弧度)n", value, acos(value));
printf("atan(%.2f) = %.6f (弧度)n", value, atan(value));
return 0;
}輸出範例:
asin(0.50) = 0.523599 (弧度)
acos(0.50) = 1.047198 (弧度)
atan(0.50) = 0.463648 (弧度) atan2() 函數的使用範例
atan2() 函數在計算直角座標 (x, y) 對應的角度時非常方便。
範例程式: 使用 atan2() 計算角度
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define PI 3.141592653589793
int main() {
double x = 1.0;
double y = 1.0;
double angle = atan2(y, x) * (180.0 / PI); // 弧度轉角度
printf("點 (%.1f, %.1f) 的角度 = %.2f 度n", x, y, angle);
return 0;
}輸出範例:
點 (1.0, 1.0) 的角度 = 45.00 度 此程式透過 atan2() 計算點 (1.0, 1.0) 的角度並以角度制輸出，可避免除以零的錯誤，因此非常安全。
4. 應用範例
以下將介紹三角函數在實務中的應用案例。
圖形中的旋轉變換
三角函數常用於 2D 與 3D 圖形的座標旋轉運算。
範例程式: 2D 座標旋轉
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define PI 3.141592653589793
void rotate_point(double x, double y, double angle) {
double radian = angle * (PI / 180.0);
double x_new = x * cos(radian) - y * sin(radian);
double y_new = x * sin(radian) + y * cos(radian);
printf("旋轉後的座標: (%.2f, %.2f)n", x_new, y_new);
}
int main() {
double x = 1.0, y = 0.0;
double angle = 45.0;
printf("原始座標: (%.2f, %.2f)n", x, y);
rotate_point(x, y, angle);
return 0;
}輸出範例:
原始座標: (1.00, 0.00)
旋轉後的座標: (0.71, 0.71) 此程式計算點 (1.0, 0.0) 旋轉 45 度後的新座標。
物理模擬中的應用範例
範例: 擺錘運動模擬
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define PI 3.141592653589793
int main() {
double length = 1.0; // 擺長 (m)
double gravity = 9.81; // 重力加速度 (m/s^2)
double time = 0.0; // 時間
double period = 2 * PI * sqrt(length / gravity); // 週期
printf("時間 (s) 角度 (rad)n");
for (int i = 0; i <= 10; i++) {
double angle = 0.1 * cos(2 * PI * time / period); // 小振幅近似公式
printf("%.2f %.4fn", time, angle);
time += 0.1;
}
return 0;
}輸出範例:
時間 (s) 角度 (rad)
0.00 0.1000
0.10 0.0998
0.20 0.0993
0.30 0.0985 此程式模擬擺錘的運動，並輸出隨時間變化的角度。
5. 計算精度與效能最佳化
在 C 語言中處理三角函數時，必須兼顧計算精度與效能。本節將說明如何在兩者之間取得平衡。
計算精度注意事項
捨入誤差的影響
浮點數運算可能產生捨入誤差，尤其在處理極小或極大的值時，誤差可能累積。
範例: 捨入誤差
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main() {
double angle = 90.0; // 角度制
double radian = angle * (M_PI / 180.0); // 弧度轉換
double result = cos(radian);
printf("cos(90度) = %.15fn", result); // 理論值應為 0.000000000000000
return 0;
}輸出範例:
cos(90度) = 0.000000000000001 對策：
- 使用近似判斷： 例如
fabs(result) < 1e-10來避免誤差影響。
高速運算演算法
加速技巧
三角函數計算通常消耗較多 CPU 資源，在效能要求高的應用中可採用近似公式或專用演算法。
範例程式: 高速 sin 函數（泰勒展開）
double fast_sin(double x) {
double x2 = x * x;
return x * (1.0 - x2 / 6.0 + x2 * x2 / 120.0); // 泰勒展開近似
}此方法雖降低部分精度，但計算速度更快。
效能比較測試
效能評估方法
可透過標準時間函數測量執行時間。
範例程式: 測量執行時間
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <time.h>
double fast_sin(double x) {
double x2 = x * x;
return x * (1.0 - x2 / 6.0 + x2 * x2 / 120.0);
}
int main() {
clock_t start, end;
double result;
start = clock(); // 開始計時
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
result = sin(1.0);
}
end = clock(); // 結束計時
printf("標準 sin() 執行時間: %f 秒n", (double)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC);
start = clock();
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
result = fast_sin(1.0);
}
end = clock();
printf("高速 sin() 執行時間: %f 秒n", (double)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC);
return 0;
}輸出範例:
標準 sin() 執行時間: 0.030000 秒
高速 sin() 執行時間: 0.010000 秒 此範例比較了標準與高速版本的執行時間，可依需求選擇。
6. 注意事項與最佳實務
在使用三角函數時，請注意以下幾點來撰寫程式，以確保正確性與穩定性。
1. 角度單位的管理
- 問題： 混用角度制與弧度制容易導致程式錯誤。
- 對策： 在函數名稱或變數名稱中明確標示單位。
例如：在變數名稱中加入 angle_deg 或 angle_rad。
2. 錯誤處理
當輸入值不合法時，三角函數可能會回傳 NaN（非數值）。務必正確處理這種情況。
範例程式: NaN 檢查
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main() {
double value = 2.0; // asin 的有效範圍為 -1 <= x <= 1
double result = asin(value);
if (isnan(result)) {
printf("錯誤：輸入值無效。n");
} else {
printf("結果：%.6fn", result);
}
return 0;
}輸出範例:
錯誤：輸入值無效。 7. 總結
本文從 C 語言中三角函數的基礎、應用，到精度與效能最佳化的技巧進行了完整介紹。
學到的重點：
- 三角函數的基本用法與範例程式碼
- 應用範例：圖形旋轉與物理模擬
- 精度與效能的優化技巧
下一步建議：
- 學習其他數學函數（例如指數函數與對數函數）的應用
- 深入理解進階的數值分析演算法
C 語言的三角函數是許多應用場合中不可或缺的強大工具。請善用本文的內容，將其應用於您的專案中！
