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C 語言三角函數教學：從基礎用法到高效能最佳化完整指南

標準函式庫
目次

1. 前言

C 語言廣泛應用於系統開發與嵌入式系統，並在需要高速處理的場景中展現其效能。特別是在數學計算中，三角函數被廣泛用於物理模擬、圖形繪製、訊號處理等多種情境。

本文將詳細解說 C 語言中三角函數的基礎用法與進階應用。初學者可藉此扎實掌握基礎，中高階開發者則可透過應用範例提升實作能力。

本文將學到的內容

  • C 語言三角函數的基本用法
  • 各函數的運作方式與用途
  • 應用範例與效能最佳化要點

接下來將結合具體的函數說明與範例程式碼進行講解，請務必閱讀到最後。

2. C 語言三角函數一覽與功能解說

在 C 語言中，要使用數學函數必須先引入標準函式庫 <math.h>。該函式庫提供了多種處理三角函數的工具。以下將依功能分類介紹。

基本函數

  • sin(double x) – 回傳以弧度為單位指定角度的正弦值。
  • cos(double x) – 回傳以弧度為單位指定角度的餘弦值。
  • tan(double x) – 回傳以弧度為單位指定角度的正切值。

反三角函數

  • asin(double x) – 計算輸入值的反正弦（結果以弧度表示）。
  • acos(double x) – 計算輸入值的反餘弦。
  • atan(double x) – 計算輸入值的反正切。

特殊函數

  • atan2(double y, double x) – 回傳座標 (x, y) 對應的角度（以弧度表示）。由於能分開處理分子與分母，可避免除以零的錯誤。

輔助函數

  • hypot(double x, double y) – 使用畢氏定理計算點 (x, y) 到原點的距離。

注意事項：角度單位

C 語言的三角函數運算一律以弧度為單位，因此若使用角度制輸入，需先進行轉換。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define PI 3.141592653589793

int main() {
    double degree = 45.0;
    double radian = degree * (PI / 180.0);  // 度轉弧度
    printf("sin(45度) = %fn", sin(radian));
    return 0;
}

此程式會計算 45 度的正弦值並輸出結果。請留意角度制與弧度的差異。

3. 三角函數的基本用法

本節將透過具體的程式碼範例，說明如何在 C 語言中使用三角函數。

正弦、餘弦、正切函數的使用範例

範例程式: 基本使用 sin(), cos(), tan()

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define PI 3.141592653589793

int main() {
    double angle = 45.0;  // 角度制
    double radian = angle * (PI / 180.0);  // 轉換為弧度

    printf("sin(%.2f度) = %.6fn", angle, sin(radian));
    printf("cos(%.2f度) = %.6fn", angle, cos(radian));
    printf("tan(%.2f度) = %.6fn", angle, tan(radian));

    return 0;
}

輸出範例:

sin(45.00度) = 0.707107  
cos(45.00度) = 0.707107  
tan(45.00度) = 1.000000

反三角函數的使用範例

反三角函數用於計算角度。

範例程式: 基本使用 asin(), acos(), atan()

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double value = 0.5;  // 輸入值

    printf("asin(%.2f) = %.6f (弧度)n", value, asin(value));
    printf("acos(%.2f) = %.6f (弧度)n", value, acos(value));
    printf("atan(%.2f) = %.6f (弧度)n", value, atan(value));

    return 0;
}

輸出範例:

asin(0.50) = 0.523599 (弧度)  
acos(0.50) = 1.047198 (弧度)  
atan(0.50) = 0.463648 (弧度)

atan2() 函數的使用範例

atan2() 函數在計算直角座標 (x, y) 對應的角度時非常方便。

範例程式: 使用 atan2() 計算角度

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define PI 3.141592653589793

int main() {
    double x = 1.0;
    double y = 1.0;

    double angle = atan2(y, x) * (180.0 / PI);  // 弧度轉角度
    printf("點 (%.1f, %.1f) 的角度 = %.2f 度n", x, y, angle);

    return 0;
}

輸出範例:

點 (1.0, 1.0) 的角度 = 45.00 度

此程式透過 atan2() 計算點 (1.0, 1.0) 的角度並以角度制輸出，可避免除以零的錯誤，因此非常安全。

4. 應用範例

以下將介紹三角函數在實務中的應用案例。

圖形中的旋轉變換

三角函數常用於 2D 與 3D 圖形的座標旋轉運算。

範例程式: 2D 座標旋轉

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define PI 3.141592653589793

void rotate_point(double x, double y, double angle) {
    double radian = angle * (PI / 180.0);
    double x_new = x * cos(radian) - y * sin(radian);
    double y_new = x * sin(radian) + y * cos(radian);

    printf("旋轉後的座標: (%.2f, %.2f)n", x_new, y_new);
}

int main() {
    double x = 1.0, y = 0.0;
    double angle = 45.0;

    printf("原始座標: (%.2f, %.2f)n", x, y);
    rotate_point(x, y, angle);

    return 0;
}

輸出範例:

原始座標: (1.00, 0.00)  
旋轉後的座標: (0.71, 0.71)

此程式計算點 (1.0, 0.0) 旋轉 45 度後的新座標。

物理模擬中的應用範例

範例: 擺錘運動模擬

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define PI 3.141592653589793

int main() {
    double length = 1.0;  // 擺長 (m)
    double gravity = 9.81;  // 重力加速度 (m/s^2)
    double time = 0.0;  // 時間
    double period = 2 * PI * sqrt(length / gravity);  // 週期

    printf("時間 (s)   角度 (rad)n");
    for (int i = 0; i <= 10; i++) {
        double angle = 0.1 * cos(2 * PI * time / period);  // 小振幅近似公式
        printf("%.2f        %.4fn", time, angle);
        time += 0.1;
    }

    return 0;
}

輸出範例:

時間 (s)   角度 (rad)  
0.00        0.1000  
0.10        0.0998  
0.20        0.0993  
0.30        0.0985

此程式模擬擺錘的運動，並輸出隨時間變化的角度。

5. 計算精度與效能最佳化

在 C 語言中處理三角函數時，必須兼顧計算精度與效能。本節將說明如何在兩者之間取得平衡。

計算精度注意事項

捨入誤差的影響

浮點數運算可能產生捨入誤差，尤其在處理極小或極大的值時，誤差可能累積。

範例: 捨入誤差

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double angle = 90.0;  // 角度制
    double radian = angle * (M_PI / 180.0);  // 弧度轉換
    double result = cos(radian);

    printf("cos(90度) = %.15fn", result);  // 理論值應為 0.000000000000000
    return 0;
}

輸出範例:

cos(90度) = 0.000000000000001

對策：

  • 使用近似判斷： 例如 fabs(result) < 1e-10 來避免誤差影響。

高速運算演算法

加速技巧

三角函數計算通常消耗較多 CPU 資源，在效能要求高的應用中可採用近似公式或專用演算法。

範例程式: 高速 sin 函數（泰勒展開）

double fast_sin(double x) {
    double x2 = x * x;
    return x * (1.0 - x2 / 6.0 + x2 * x2 / 120.0);  // 泰勒展開近似
}

此方法雖降低部分精度，但計算速度更快。

效能比較測試

效能評估方法

可透過標準時間函數測量執行時間。

範例程式: 測量執行時間

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <time.h>

double fast_sin(double x) {
    double x2 = x * x;
    return x * (1.0 - x2 / 6.0 + x2 * x2 / 120.0);
}

int main() {
    clock_t start, end;
    double result;

    start = clock();  // 開始計時
    for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
        result = sin(1.0);
    }
    end = clock();  // 結束計時
    printf("標準 sin() 執行時間: %f 秒n", (double)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC);

    start = clock();
    for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
        result = fast_sin(1.0);
    }
    end = clock();
    printf("高速 sin() 執行時間: %f 秒n", (double)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC);

    return 0;
}

輸出範例:

標準 sin() 執行時間: 0.030000 秒  
高速 sin() 執行時間: 0.010000 秒

此範例比較了標準與高速版本的執行時間，可依需求選擇。

6. 注意事項與最佳實務

在使用三角函數時，請注意以下幾點來撰寫程式，以確保正確性與穩定性。

1. 角度單位的管理

  • 問題： 混用角度制與弧度制容易導致程式錯誤。
  • 對策： 在函數名稱或變數名稱中明確標示單位。

例如：在變數名稱中加入 angle_deg 或 angle_rad。

2. 錯誤處理

當輸入值不合法時，三角函數可能會回傳 NaN（非數值）。務必正確處理這種情況。

範例程式: NaN 檢查

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    double value = 2.0;  // asin 的有效範圍為 -1 <= x <= 1
    double result = asin(value);

    if (isnan(result)) {
        printf("錯誤：輸入值無效。n");
    } else {
        printf("結果：%.6fn", result);
    }
    return 0;
}

輸出範例:

錯誤：輸入值無效。

7. 總結

本文從 C 語言中三角函數的基礎、應用，到精度與效能最佳化的技巧進行了完整介紹。

學到的重點：

  1. 三角函數的基本用法與範例程式碼
  2. 應用範例：圖形旋轉與物理模擬
  3. 精度與效能的優化技巧

下一步建議：

  • 學習其他數學函數（例如指數函數與對數函數）的應用
  • 深入理解進階的數值分析演算法

C 語言的三角函數是許多應用場合中不可或缺的強大工具。請善用本文的內容，將其應用於您的專案中！

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